今回は「糸の両端を持ち、空間中にぶら下げた時の糸の関数」を求めてみます
状況設定：xy平面上の任意の2点を選び、その2点を両端として糸を弛ませる。両端のうち一方の端点をP1(x1,y1),他方をP2(x2,y2)とする。また、この糸の線密度をρであり、完全に曲がりやすく、伸縮せず、その太さは無視できるものとする。
初めに、糸状の任意の点yでの微少長さdsにかかる重力ポテンシャル(質量×重力加速度×高さ)はρgydsであるから、糸全体の重力ポテンシャルIは
I=
となる。ここで、ds^2=sqrt(dx^2+dy^2)からds=spart(1+x’^2)dy(x’=dx/dy)として、積分範囲をy=y1からy=y2とすると
I＝
糸がつりあい状態にある時、その重力ポテンシャルIは極小値をとる。すなわち、この問題は上式に極小値を与える関数を決定すればよい。
ここで変分法を紹介します。
変分法とはある制約条件のもとで極小値(極大値)を返してくれる最適な関数を求める手法である。
最も単純な例は、二点を結ぶ最短の曲線を求める問題である。その答えは二点をつなぐ直線であることは自明である。いま仮にそれがわからないと仮定し、求めたい曲線をy=y(x)とおく。この曲線上の微少部分dsはds^2=dx^2+dy^2であるから、
ds=sqrt(1+(dy/dx)^2)dx=sqrt(1+y’^2)dx
となり、二点間(x1,x2)での曲線の長さIは
I=
よって、この問題は上式に極小値を与える関数(y)を決定すればよい。
これは先ほどの糸全体の重力ポテンシャルで与えられた問題と同じことに気づく。どちらもIを最小にする関数を求める問題に帰着された。このＩを積分汎関数という。
それでは、積分汎関数I=の式に最小値を与える関数を求める方法を模索する必要がある。
積分汎関数の特徴を考えてみる
仮に、積分汎関数Iに極小値与える関数がy=y1であったとすると、関数yが少しだけ変化した時のIの微少変化ΔIは必ず０以上でありΔI≥０が成立する。逆に考えれば、Iの微少変化ΔIがΔI≥０となるような関数yを見つけることによって、Iを極小にする関数を決定できる。