量子力学の話の続きです。
まず初めにシュレディンガー方程式を簡単に導き、その性質から量子の存在状態を考えてみます。
波は進行方向に対する位置座標xと時間変化に対する時間tが変数となる2変数関数で表されます。つまり、位置xと時間tが決定すれば波動関数が決定されるはずです。
その波動関数Ψ(プサイ)はΨ=Ae^i(kx-ωt)で表せます。
分解するとΨ=A(e^ikx*e^-iωt)となり、位置座標xに依存する波e^ikxと時間tに依存する波e^-iωtの積で表されている。
このeの指数部分の符号は、この波の式をxやtについて偏微分した際のエネルギーの辻褄を合わせるため正負が決められる。位置座標xに依存する波e^ikx は、k =2π/λであるからkxは位相を表し、波は進行波を表す。x について偏微分した際に進行方向に対する正の運動量を与えるため正となる。また、時間tに依存する波e^-iωtは、偏微分した際に与えられるエネルギーは必ず正になるため、辻褄を合わせるために指数部分の符号は負になる。今は一般的な進行方向が右向きの波について考えたが、進行方向が左向きの場合は、位置じゃ表xに依存する波を逆向きに表現すればよく、時間tに依存する波は同様に辻褄を合わせるため同じ形をとる。つまりΨ(左向き)= A(e^-ikx*e^-iωt)となる。
この波動関数の位置や時間に対する性質をみます。
位置xに対して、xの偏微分を2回行い、全エネルギーはポテンシャルエネルギーと運動エネルギーの総和である関係を用いて整理すると、時間に依らない位置に関するシュレディンガー方程式が導かれます。それが以下です。
(-ℏ^2/2m d^2/dx^2)+V)Ψ=EΨ
時間tに対して、tの偏微分を1回行い、全エネルギーＥ=ℏωを用いて整理すると、位置に依らない位置に関するシュレディンガー方程式が導かれます。それが以下です。
Iℏ d/dt Ψ=ＥΨ=HΨ (Hは演算子ハミルトニアン)
一次元のシュレディンガー方程式はとても簡単に導かれました。
偏微分を含むカタマリは次の関数に対して演算するため、演算子と呼ばれる。演算子にはさまざまな性質や種類がある。そのうちの一つの演算子である、分散の演算子を紹介する。分散の演算子AについてはΔA=A-SΨAΨdx=A-<Ψ|A|Ψ>と表される(ブラケット表記を用いた)、もう一つの同様に分散の演算子Bを用いて表す。演算子A,Bの交換関係の性質から以下の不等式が成り立つ。
(ΔA)^2*(ΔB)^2≥1/4 |<Ψ|[A,B|Ψ>|^2
この不等式は事実として認めてほしい。
演算子A,Bを位置座標xと運動量pxに置き換えると、交換関係[x,px]=iℏとなり、不等式は、(Δx)^2*(Δpx)^2≥1/4 |<Ψ|[iℏ|Ψ>|^2
≥ℏ^2/4 |<Ψ|Ψ>|^2
≥ℏ^2/4
よってΔxΔpxは正であるから、
ΔxΔpx≥ℏ/2 が得られる。
この不等式の意味することは、xを正確に測り特定する時、分散Δxを限りなく0に近づけることになる。その時、不等式からもう片方の分散Δpxは無限に大きくなることが予想される。つまり、xを特定しようとするともう片方のpxは分散が無限大になり特定できなくなる。すなわち両方の量(x,px)を同時に正確に特定することはできない。この関係をハイゼンベルク(1901~1976)は導き、ハイゼンベルクの不確定性原理という。
この原理からわかることは、シュレディンガー方程式を解くためには位置xと運動量pxを同時に正確に測定する必要があるが、それができない。電子の存在状態を一意に決定することができない。つまり、物理現象が確率的に(不確かな状態で)決定する。この主張に対して、物理現象が確率的に決定されることはないと反論したのがアインシュタインであった。その時の有名なセリフが「神はサイコロを振らない」だった。アインシュタインの反論に対して、その都度ハイゼンベルクらは不備を見つけ出し否定した。そしてハイゼンベルクの不確定性原理を否定する者は現れず今に至る。
「神はサイコロを振った」